SIFAT-SIFAT DAN DEKOMPOSISI DETERMINAN MATRIKS

-
SIFAT-SIFAT  DAN DEKOMPOSISI PADA
 DETERMINAN MATRIKS


SIFAT-SIFAT DETERMINAN MATRIKS
Pada determinan matriks  memiliki sifat-sifat. Sifat-sifat pada determinan matriks sangat bermanfaat ketika menghitung matriks-matriks dengan karakteristik yang khusus, seperti matriks dengan elemen nol, matriks segitiga atas/bawah, dan matriks dengan baris sebanding.

Ada beberapa sifat – sifat determinan matriks, yaitu :
1. Apabila semua elemen dari salah satu baris atau kolom sama dengan nol, maka determinan matriks tersebut adalah nol. 
Contoh :
Misalkan  : 


2. Apabila semua elemen dari salah satu baris atau kolom itu sama dengan elemen-elemen baris atau kolom lain, maka determinan matriks tersebut adalah nol.
Contoh :
Misalkan: B =  (Sebab semua elemen baris ke-1 dan ke-3 adalah sama).


3. Apabila elemen-elemen salah satu dari baris atau kolom adalah merupakan kelipatan dari elemen-elemen baris atau kolom lain maka determinan matriks tersebut adalah nol.
Contoh : 
Misalkan: A =  (semua elemen pada baris ke-3 sama dengan kelipatan semua elemen baris ke-1).


4. |AB| = |A| ×|B|
Contoh :
Hasil gambar untuk matriks axb


5. |AT| = |A|, untuk AT adalah transpose dari matriks A.

\[ \left( A + B \right) ^{T} = A^{T} + B^{T} \]
\[ (AB )^{T} = B^{T} A^{T} \]

Contoh :
Diketahui dengan Matriks 3 x 2 ,
\[ \textrm{A} \; = \; \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} \]


Maka matriks transpose A adalah:
Matriks Transpose

6. |A–1| =  , untuk A–1 adalah invers dari matriks A.
Contoh :
Matriks 3 x 3
Matriks B
\vspace{1pc}B= \begin{bmatrix} 3 &-1 &2\\ 5& 2&6\\1 &-3&4\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|B\right|= 3.2.4+(-1).6.1+2.5.(-3)\\ \vspace{1pc}-(2.2.1+3.6.(-3)+(-1).5.4)\\ \vspace{1pc}\left|B\right|=24-6-30-(4-54-20)=58

Tukar Baris
\vspace{1pc}Rumus=R1\Leftrightarrow R3\\ \vspace{1pc}B'= \begin{bmatrix} 1 &-3&4\\ 5& 2&6\\3 &-1 &2\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=1.2.2+(-3).6.3+4.5.(-1)\\ \vspace{1pc}-(4.2.3+1.6.(-1)+(-3).5.2)\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=4-54-20-(24-6-30)=-58\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=-\left|B\right|=-58

Tukar Kolom
\vspace{1pc}Rumus=C2\Leftrightarrow C3\\ \vspace{1pc}B'= \begin{bmatrix} 3 &2 &-1\\ 5& 6&2\\1 &4&-3\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=(-3).6.3+2.2.1++(-1).5.4\\ \vspace{1pc}-((-1).6.1+3.2.4+2.5.(-3))\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=-54+4-20-(-6+24-30)=-58\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=-\left|B\right|=-58

7. |kA| = kn |A|, untuk A ordo n × n dan k adalah suatu konstanta.

Contoh :
Matriks 3 x 3
Matriks B
\vspace{1pc}B= \begin{bmatrix} 3 &-1 &2\\ 5& 2&6\\1 &-3&4\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|B\right|= 3.2.4+(-1).6.1+2.5.(-3)\\ \vspace{1pc}-(2.2.1+3.6.(-3)+(-1).5.4)\\ \vspace{1pc}\left|B\right|=24-6-30-(4-54-20)=58


B' (baris)
\vspace{1pc}k=2\\ \vspace{1pc}Baris\;ke-3\\ \vspace{1pc}Rumus=2R3\\ \vspace{1pc}B'= \begin{bmatrix} 3 &-1 &2\\ 5& 2&6\\2 &-6&8\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=3.2.8+(-1).6.2+2.5.(-6)\\ \vspace{1pc}-(2.2.2+3.6.(-6)+(-1).5.8)\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=48-12-60-(8-108-40)=116


B' (Kolom)
\vspace{1pc}k=2\\ \vspace{1pc}Kolom\;ke-2\\ \vspace{1pc}Rumus=2C2\\ \vspace{1pc}B'= \begin{bmatrix} 3 &-2 &2\\ 5& 4&6\\1 &-6&4\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=3.4.4+(-2).6.1+2.5.(-6)\\ \vspace{1pc}-(2.4.1+3.6.(-6)+(-2).5.8)\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=48-12-60-(8-108-40)=116



DEKOMPOSISI MATRIKS DAN DETERMINAN
Matriks bujur sangkar A dikatakan didekomposisi, jika matriks segitiga bawah L dan 
matriks segitiga bawah U .
A = LU

Maka,
det(A) = det(L) det(U)


Beberapa teknik menghitung dekomposisi determinan matriks :
1. Metode Crout 
Matriks Ordo 3 x 3 
Rumus perhitungan :

2. Metode  Doolittle
Metode Ordo 3 x 3

Rumus Perhitungannya,

3. Metode Cholesky
Metode cholesky adalah sebuah penyelesaian persamaan linier simultan yang diperoleh dari rumusan matematika berdasarkan atas unsur koefisien variabel yang simetris.Matriks yang diselesaikan harus matriks yang berordo sama atau yang biasa disebut adalah matriks simetris. Unsur matriks baris sama dengan unsur matriks kolom pada indeks baris dan kolom yang sama. Nilai di dalam tanda akar harus bernilai positif. Angka diluar diagonal utama harus memiliki nilai yang sama.
[A] = [U] * [UT]
Dimana:
[A] = Nilai Matrik Soal
[U] = Nilai Matrik Segitiga Atas
[UT] = Nilai Matrik Segitiga Bawah

4. Metode Operasi Elementer 
Contoh  :
Carilah solusi dari persamaan dibawah ini ,
\begin{array}{rl} x + y + 2z &= 9\\ 2x + 4y -3z &= 1\\ 3x + 6y -5z &= 0\end{array}
Penyelesaian :
Mengubah persamaan tersebut kedalam bentuk matriks yang diperbesar ,
\left[ \left.\begin{matrix} 1& 1& 2\\ 2& 4& -3\\ 3& 6& -5 \end{matrix}\right| \begin {array}{r} 9\\ 1\\ 0\end {array}\right]
kemudian :
  1. baris kedua : B2 + (-2)B1,
    baris ketiga : B3 + (-3)B1,
    \left[ \left.\begin{matrix} 1& 1& 2\\ 0& 2& -7\\ 0& 3& -11 \end{matrix}\right| \begin {array}{r} 9\\ -17\\ -27\end {array}\right]
  2. baris kedua : B2 x (1/2),
    \left[ \left.\begin{matrix} 1& 1& 2\\ 0& 1& -7/2\\ 0& 3& -11 \end{matrix}\right| \begin {array}{r} 9\\ -17/2\\ -27\end {array}\right]
  3. baris ketiga : B3 + (-3)B2,
    \left[ \left.\begin{matrix} 1& 1& 2\\ 0& 1& -7/2\\ 0& 0& -1/2 \end{matrix}\right| \begin {array}{r} 9\\ -17/2\\ -3/2\end {array}\right]
  4. baris ketiga : B3 x 2,
    \left[ \left.\begin{matrix} 1& 1& 2\\ 0& 1& -7/2\\ 0& 0& 1 \end{matrix}\right| \begin {array}{r} 9\\ -17/2\\ 3\end {array}\right]
pada matriks terakhir ini dinamakan matriks berada dalam bentuk eselon baris. Dari matriks eselon baris ini dapat ditulis kedalam bentuk persamaan yang bersesuaian dengan matriks tersebut.
\begin{array}{rl} x + y + 2z &= 9\\ y -\dfrac{7}{2} z &= -\dfrac{17}{2}\\ z &= 3 \end{array}
sehingga dengan mensubstitusikan z = 3 kedalam persamaan kedua, diperoleh y -\dfrac{7}{2}\times 3 = -\dfrac{17}{2} \Rightarrow y = 2. Setelah itu substitusikan z dan y kepersamaan pertama, diperoleh $latex x + 2 + 2(3) = 9 .
Jadi, solusi dari persamaan diatas adalah x = 1, y = 2 dan z = 3.














Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

METODE CHIO - DETERMINAN MATRIKS

-
Gambar
METODE CHIO DALAM DETERMINAN MATRIKS Metode Chio merupakan salah satu metode yang dapat digunakan dalam menentukan determinan matriks yang memiliki ordo   dengan  . Metode Chio menyusutkan determinan matriks ordo    menjadi ordo   dan dikalikan dengan elemen  .  Proses ini berakhir pada determinan matriks ordo  . Tanpa mengurangi perumuman, dalam tulisan ini menggunakan matriks persegi dengan syarat elemen  .  Apabila nilai elemen    maka dilakukan proses operasi baris/kolom yaitu menukarkan baris/kolom pada determinan matriks untuk memperoleh  . Metode Chio ordo 3 x 3 : Metode Chio ordo 4 x 4 : U kuran matriksnya diperluas atau diperumuskan menjadi  , maka diperoleh : Rumus ini diatas, dikenal sebagai rumus menghitung determinan  dengan mereduksi orde atau matriks. Reduksi pada orde menggunakan elemen matriks yang lain dan tidak har...
Baca selengkapnya

INVERS MATRIKS

-
Gambar
INVERS  MATRIKS A. DEFINISI MATRIKS     Invers matriks bisa didefinisikan dimana jika A merupakan suatu matriks kuadrat, maka anda bisa mencari matriks B dengan AB = BA = I . A dikatakan bisa dibalik dan B disebut dengan invers dari A.   Matriks yang mempunyai invers disebut sebagai invertible atau matriks non singular, sedangkan matriks yang tidak mempunyai invers disebut matriks singular. 1. Ma trik bujur sangkar A dikatakan mempunyai invers , jika terdapat matrik B   sedemikian          rupa sehingga :      AB = BA = I     dimana I matrik identitas 2. B dikatakan invers matrik A ditulis A –1 , maka , AA –1 = A –1 A = I 3. A dikatakan invers matrik B d itulis B –1 , maka , B –1 B= BB –1 = I Untuk mencari invers matriks persegi berordo 2x2: Jika   dengan  , maka invers matriks A (ditulis  ) adalah sebagai berikut: Jika   mak...
Baca selengkapnya

MATRIKS DAN JENIS-JENIS MATRIKS

-
Gambar
MATRIKS DAN JENIS-JENIS MATRIKS DEFINISI MATRIKS Dalam matematika, "Matriks adalah kumpulan bilangan, simbol, atau ekspresi, berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut dengan elemen atau anggota matriks." Pada umumnya matriks dapat diartikan sebagai suatu susunan atau kumpulan dari beberapa bilangan yang disusun berdasarkan kepada baris dan kolom yang berbentuk persegi panjang. Matriks memiliki ciri khas khusus dimana biasanya bilangan yang menjadi elemen dari sebuah matriks disusun dengan diapit oleh tanda kurung siku [] namun terkadang ada juga elemen matriks yang diapit oleh tanda kurung biasa (). Ukuran dari sebuah matriks disebut sebagai ordo yang menjelaskan jumlah dari kolom dan baris yang ada di dalam matriks tersebut.  Ukuran dari sebuah matriks dapat di simbolkan dengan rumus : A mxn Diketahui :  A = Nama Matriks m = jumlah baris n = jumlah ko...
Baca selengkapnya