SIFAT-SIFAT DAN DEKOMPOSISI DETERMINAN MATRIKS

-
SIFAT-SIFAT  DAN DEKOMPOSISI PADA
 DETERMINAN MATRIKS


SIFAT-SIFAT DETERMINAN MATRIKS
Pada determinan matriks  memiliki sifat-sifat. Sifat-sifat pada determinan matriks sangat bermanfaat ketika menghitung matriks-matriks dengan karakteristik yang khusus, seperti matriks dengan elemen nol, matriks segitiga atas/bawah, dan matriks dengan baris sebanding.

Ada beberapa sifat – sifat determinan matriks, yaitu :
1. Apabila semua elemen dari salah satu baris atau kolom sama dengan nol, maka determinan matriks tersebut adalah nol. 
Contoh :
Misalkan  : 


2. Apabila semua elemen dari salah satu baris atau kolom itu sama dengan elemen-elemen baris atau kolom lain, maka determinan matriks tersebut adalah nol.
Contoh :
Misalkan: B =  (Sebab semua elemen baris ke-1 dan ke-3 adalah sama).


3. Apabila elemen-elemen salah satu dari baris atau kolom adalah merupakan kelipatan dari elemen-elemen baris atau kolom lain maka determinan matriks tersebut adalah nol.
Contoh : 
Misalkan: A =  (semua elemen pada baris ke-3 sama dengan kelipatan semua elemen baris ke-1).


4. |AB| = |A| ×|B|
Contoh :
Hasil gambar untuk matriks axb


5. |AT| = |A|, untuk AT adalah transpose dari matriks A.

\[ \left( A + B \right) ^{T} = A^{T} + B^{T} \]
\[ (AB )^{T} = B^{T} A^{T} \]

Contoh :
Diketahui dengan Matriks 3 x 2 ,
\[ \textrm{A} \; = \; \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} \]


Maka matriks transpose A adalah:
Matriks Transpose

6. |A–1| =  , untuk A–1 adalah invers dari matriks A.
Contoh :
Matriks 3 x 3
Matriks B
\vspace{1pc}B= \begin{bmatrix} 3 &-1 &2\\ 5& 2&6\\1 &-3&4\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|B\right|= 3.2.4+(-1).6.1+2.5.(-3)\\ \vspace{1pc}-(2.2.1+3.6.(-3)+(-1).5.4)\\ \vspace{1pc}\left|B\right|=24-6-30-(4-54-20)=58

Tukar Baris
\vspace{1pc}Rumus=R1\Leftrightarrow R3\\ \vspace{1pc}B'= \begin{bmatrix} 1 &-3&4\\ 5& 2&6\\3 &-1 &2\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=1.2.2+(-3).6.3+4.5.(-1)\\ \vspace{1pc}-(4.2.3+1.6.(-1)+(-3).5.2)\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=4-54-20-(24-6-30)=-58\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=-\left|B\right|=-58

Tukar Kolom
\vspace{1pc}Rumus=C2\Leftrightarrow C3\\ \vspace{1pc}B'= \begin{bmatrix} 3 &2 &-1\\ 5& 6&2\\1 &4&-3\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=(-3).6.3+2.2.1++(-1).5.4\\ \vspace{1pc}-((-1).6.1+3.2.4+2.5.(-3))\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=-54+4-20-(-6+24-30)=-58\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=-\left|B\right|=-58

7. |kA| = kn |A|, untuk A ordo n × n dan k adalah suatu konstanta.

Contoh :
Matriks 3 x 3
Matriks B
\vspace{1pc}B= \begin{bmatrix} 3 &-1 &2\\ 5& 2&6\\1 &-3&4\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|B\right|= 3.2.4+(-1).6.1+2.5.(-3)\\ \vspace{1pc}-(2.2.1+3.6.(-3)+(-1).5.4)\\ \vspace{1pc}\left|B\right|=24-6-30-(4-54-20)=58


B' (baris)
\vspace{1pc}k=2\\ \vspace{1pc}Baris\;ke-3\\ \vspace{1pc}Rumus=2R3\\ \vspace{1pc}B'= \begin{bmatrix} 3 &-1 &2\\ 5& 2&6\\2 &-6&8\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=3.2.8+(-1).6.2+2.5.(-6)\\ \vspace{1pc}-(2.2.2+3.6.(-6)+(-1).5.8)\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=48-12-60-(8-108-40)=116


B' (Kolom)
\vspace{1pc}k=2\\ \vspace{1pc}Kolom\;ke-2\\ \vspace{1pc}Rumus=2C2\\ \vspace{1pc}B'= \begin{bmatrix} 3 &-2 &2\\ 5& 4&6\\1 &-6&4\end{bmatrix}\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=3.4.4+(-2).6.1+2.5.(-6)\\ \vspace{1pc}-(2.4.1+3.6.(-6)+(-2).5.8)\\ \vspace{1pc}\left|B'\right|=48-12-60-(8-108-40)=116



DEKOMPOSISI MATRIKS DAN DETERMINAN
Matriks bujur sangkar A dikatakan didekomposisi, jika matriks segitiga bawah L dan 
matriks segitiga bawah U .
A = LU

Maka,
det(A) = det(L) det(U)


Beberapa teknik menghitung dekomposisi determinan matriks :
1. Metode Crout 
Matriks Ordo 3 x 3 
Rumus perhitungan :

2. Metode  Doolittle
Metode Ordo 3 x 3

Rumus Perhitungannya,

3. Metode Cholesky
Metode cholesky adalah sebuah penyelesaian persamaan linier simultan yang diperoleh dari rumusan matematika berdasarkan atas unsur koefisien variabel yang simetris.Matriks yang diselesaikan harus matriks yang berordo sama atau yang biasa disebut adalah matriks simetris. Unsur matriks baris sama dengan unsur matriks kolom pada indeks baris dan kolom yang sama. Nilai di dalam tanda akar harus bernilai positif. Angka diluar diagonal utama harus memiliki nilai yang sama.
[A] = [U] * [UT]
Dimana:
[A] = Nilai Matrik Soal
[U] = Nilai Matrik Segitiga Atas
[UT] = Nilai Matrik Segitiga Bawah

4. Metode Operasi Elementer 
Contoh  :
Carilah solusi dari persamaan dibawah ini ,
\begin{array}{rl} x + y + 2z &= 9\\ 2x + 4y -3z &= 1\\ 3x + 6y -5z &= 0\end{array}
Penyelesaian :
Mengubah persamaan tersebut kedalam bentuk matriks yang diperbesar ,
\left[ \left.\begin{matrix} 1& 1& 2\\ 2& 4& -3\\ 3& 6& -5 \end{matrix}\right| \begin {array}{r} 9\\ 1\\ 0\end {array}\right]
kemudian :
  1. baris kedua : B2 + (-2)B1,
    baris ketiga : B3 + (-3)B1,
    \left[ \left.\begin{matrix} 1& 1& 2\\ 0& 2& -7\\ 0& 3& -11 \end{matrix}\right| \begin {array}{r} 9\\ -17\\ -27\end {array}\right]
  2. baris kedua : B2 x (1/2),
    \left[ \left.\begin{matrix} 1& 1& 2\\ 0& 1& -7/2\\ 0& 3& -11 \end{matrix}\right| \begin {array}{r} 9\\ -17/2\\ -27\end {array}\right]
  3. baris ketiga : B3 + (-3)B2,
    \left[ \left.\begin{matrix} 1& 1& 2\\ 0& 1& -7/2\\ 0& 0& -1/2 \end{matrix}\right| \begin {array}{r} 9\\ -17/2\\ -3/2\end {array}\right]
  4. baris ketiga : B3 x 2,
    \left[ \left.\begin{matrix} 1& 1& 2\\ 0& 1& -7/2\\ 0& 0& 1 \end{matrix}\right| \begin {array}{r} 9\\ -17/2\\ 3\end {array}\right]
pada matriks terakhir ini dinamakan matriks berada dalam bentuk eselon baris. Dari matriks eselon baris ini dapat ditulis kedalam bentuk persamaan yang bersesuaian dengan matriks tersebut.
\begin{array}{rl} x + y + 2z &= 9\\ y -\dfrac{7}{2} z &= -\dfrac{17}{2}\\ z &= 3 \end{array}
sehingga dengan mensubstitusikan z = 3 kedalam persamaan kedua, diperoleh y -\dfrac{7}{2}\times 3 = -\dfrac{17}{2} \Rightarrow y = 2. Setelah itu substitusikan z dan y kepersamaan pertama, diperoleh $latex x + 2 + 2(3) = 9 .
Jadi, solusi dari persamaan diatas adalah x = 1, y = 2 dan z = 3.














Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

METODE CHIO - DETERMINAN MATRIKS

-
Gambar
METODE CHIO DALAM DETERMINAN MATRIKS Metode Chio merupakan salah satu metode yang dapat digunakan dalam menentukan determinan matriks yang memiliki ordo   dengan  . Metode Chio menyusutkan determinan matriks ordo    menjadi ordo   dan dikalikan dengan elemen  .  Proses ini berakhir pada determinan matriks ordo  . Tanpa mengurangi perumuman, dalam tulisan ini menggunakan matriks persegi dengan syarat elemen  .  Apabila nilai elemen    maka dilakukan proses operasi baris/kolom yaitu menukarkan baris/kolom pada determinan matriks untuk memperoleh  . Metode Chio ordo 3 x 3 : Metode Chio ordo 4 x 4 : U kuran matriksnya diperluas atau diperumuskan menjadi  , maka diperoleh : Rumus ini diatas, dikenal sebagai rumus menghitung determinan  dengan mereduksi orde atau matriks. Reduksi pada orde menggunakan elemen matriks yang lain dan tidak har...
Baca selengkapnya

DETERMINAN MATRIKS

-
Gambar
DETERMINAN MATRIKS DEFINISI Pada aljabar linier,  determinan matriks dapat diartikan sebagai nilai yang mewakili sebuah matriks bujur sangkar. Simbol nilai determinan matriks A dinyatakan sebagai det(A) atau    .   Cara menghitung determinan matriks tergantung ukuran matriks bujur sangkar tersebut, karena cara menghitung nilai determinan dengan ordo 3 akan berbeda dengan cara menghitung matriks bujur sangkar dengan ordo 2. 1. Determinan Matriks Ordo 2 x 2 matriks ordo 2 dinyatakan seperti bentuk di bawah.     Nilai determinan A disimbolkan dengan  , cara menghitung nilai determinan A :     2. Determinan Matriks Ordo 3 x 3 Matriks Ordo 3 adalah matriks bujur sangkar dengan banyaknya kolom dan baris sama dengan tiga. Bentuk umum matriks ordo 3 sebagai berikut.     Cara menghitung determinan pada matriks dengan ordo tiga biasa disebut dengan  Aturan Sarrus .  METOD...
Baca selengkapnya

PIRANTI INTERAKSI - INTERAKSI MANUSIA & KOMPUTER

-
Gambar
PIRANTI INTERAKSI Di dalam konteks IMK, suatu piranti memungkinkan komunikasi antara manusia dan komputer melalui beberapa saluran komunikasi, di antaranya : Piranti Input (bagi komputer)      : misalkan keyboard, mouse, dll. Piranti Output (dari komputer)    : misalkan tampilan monitor, speaker, dll Pada komputer, Data yang diolah dan juga disimpan dalam bentuk digital maupun bilangan biner. Digital hanya mengenal 2 nilai (1 dan juga 0; benar dan juga salah; atau on dan juga off). Setiap nilai (1 dan 0) disebut dengan bit (binary digit), bilangan yang terdiri dari 8 bit = byte. A. Piranti Masukan Tekstual a.  Keyboard Peranti masukkan tekstual dapat dikatakan merupakan peranti masukan standar yang dijumpai pada semua komputer (Keyboard). Keyboard merupakan piranti terbaik untuk inputan berbentuk teks. Jenis-jenis Keyboard : Keyboard QWERTY Keyboard Dvorak Keyboard Alphabetic Keyboard Chord 1)  ...
Baca selengkapnya